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三角函数是研究角与边长比例关系的数学分支,核心是把直角三角形中的边长比(正弦、余弦、正切)推广为定义在任意角上的函数,并由此发展出恒等式、函数图像与解三角形等工具。它适合两类人入门:一是正在学中学几何/代数、需要应付考试的学生;二是想补回基础、为微积分或物理做准备的成年人。入门路径可以概括为:先用直角三角形建立直觉,再用单位圆把定义扩展到任意角,接着掌握弧度制与特殊角,然后记熟核心恒等式和函数图像,最后用分类练习册(例如 MadAsMaths 的三角函数专题册子)配合完整解答反复巩固。

两种理解方式:直角三角形与单位圆

直角三角形定义(适合建立直觉)

在一个直角三角形中,取一个锐角 θ:

• 正弦 sin θ = 对边 / 斜边
• 余弦 cos θ = 邻边 / 斜边
• 正切 tan θ = 对边 / 邻边

这个定义的优点是直观,缺点是只能处理 0° 到 90° 之间的角。

单位圆定义(适合推广到任意角)

在坐标平面上画一个半径为 1、圆心在原点的圆。从正 x 轴出发逆时针旋转角 θ,终边与圆交于点 (x, y),则:

• cos θ = x
• sin θ = y
• tan θ = y / x(x ≠ 0)

单位圆把三角函数从"锐角专用"扩展到了任意正角、负角和大于 360° 的角,是理解周期性和象限符号的关键工具。

弧度制与特殊角

弧度是角的另一种度量方式:π 弧度 = 180°。换算关系为:

• 角度转弧度:乘以 π/180
• 弧度转角度:乘以 180/π

入门阶段必须熟记第一象限的特殊角值:

其他象限的角可以通过"参考角 + 象限符号"推出,不必单独记忆。

核心恒等式

入门必须掌握并能推导的恒等式有三组:

毕达哥拉斯恒等式

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

由单位圆上点满足 x² + y² = 1 直接得到。它的两个变形也常用:

• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = csc²θ

和角公式

• sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
• cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
• tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

倍角公式(和角公式令 A = B 即得)

• sin 2θ = 2 sin θ cos θ
• cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
• tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)

建议:不要死背,而是从单位圆或和角公式现场推导一遍,推导过程本身就是最好的记忆。

函数图像与性质

正弦和余弦的图像是波浪形,振幅为 1;正切在每个周期内从负无穷升到正无穷,在 π/2 + kπ 处有垂直渐近线。理解周期和振幅,是后面处理 y = A sin(Bx + C) + D 这类变形的基础。

入门学习路径

1. 先练直角三角形:给定两边求角、给定一角一边求另一边,把 sin/cos/tan 的比值含义练熟。
2. 转到单位圆:练习把任意角(含负角、大于 360° 的角)画到单位圆上,判断各象限符号。
3. 掌握弧度与特殊角:做到 π/6、π/4、π/3 等值脱口而出。
4. 推导并应用恒等式:从毕达哥拉斯恒等式和和角公式出发,推出倍角公式,再用来化简表达式。
5. 画函数图像:手绘 sin、cos、tan 一个周期,标出零点、极值点和渐近线。
6. 做分类练习并核对完整解答:这是最关键的一步。

用 MadAsMaths 的三角函数资源巩固

MadAsMaths 是一个免费数学资源站,按主题分类提供数学册子(booklets),其中包含 TRIGONOMETRY(三角函数) 专题,册子内附大量题目和完整解答(full solutions)。网站还提供按考试规格分类的练习卷(practice papers),同样带完整解答。

使用方式很直接:

• 进入网站后,从主题列表中找到 TRIGONOMETRY 分类,下载对应册子;
• 先独立做题,再对照册子里的完整解答检查思路,而不是只看答案;
• 如果目标是某类考试(如 A Level),可结合对应的 practice papers 做整卷训练。

需要注意:网站创建者 Trifon Madas 已去世,网站将保持免费开放,但内容为静态格式,不再更新,联系表单也已停用。因此它适合作为稳定的题库和解答来源,但不适合期待最新内容或互动答疑。

常见易错点

• 象限符号判断错误:sin 在一二象限为正,cos 在一四象限为正,tan 在一三象限为正。做题前先确定角落在哪个象限。
• 反三角函数的值域:arcsin 的值域是 [−π/2, π/2],arccos 是 [0, π],arctan 是 (−π/2, π/2)。超出这个范围的主值不能直接套用。
• 解三角方程漏解:sin θ = 1/2 在 [0, 2π) 内有两个解(π/6 和 5π/6),不要只写一个。一般先求出一个解,再利用周期和对称性补全所有解。
• 弧度与角度混用:求导、积分和大多数高等数学公式默认使用弧度,计算前先确认单位。

把定义、恒等式、图像这三块打通,再配合分类题库反复练习,三角函数就能从"记不住的公式堆"变成一套可以自己推导的工具。

GD LRR Demon List 是一个专门面向低刷新率玩家的 Geometry Dash 恶魔关卡榜单，覆盖 60Hz、75Hz 以及移动端玩家。它存在的直接原因，是 Pointercrate 上的高难度恶魔关卡对 60/75Hz 和移动端玩家越来越不友好，于是这份榜单为这些玩家单独整理了一份可参考的关卡排名。榜单由 ryan9328 和 hpsk 赞助或制作，已经从早期缓慢、受限的 Google Site 迁移到独立网站 gdlrrlist.com。

它和普通恶魔榜的区别

普通恶魔榜（以 Pointercrate 为代表）不区分刷新率，排名反映的是关卡本身的难度。但同一关在 60Hz 和 240Hz 下的实际体验差距很大：高刷新率能带来更顺滑的操作反馈，部分关卡在低刷新率下会明显更难甚至接近不可完成。

GD LRR Demon List 的定位就是把这个差距单独拎出来，给低刷新率玩家一份“在这个条件下真正可打”的关卡参考。

榜单包含哪些板块

网站导航中可以看到以下内容：

• Main List：主榜单
• Extended List：扩展榜单
• Legacy List：历史榜单
• 61Hz+ levels：面向 61Hz 以上刷新率的关卡
• Leaderboard：玩家排行榜
• 另有 LRR Roulette、Documentation、LDMs 等入口

提交记录的核心规则

榜单自 2021 年 1 月 9 日起正式采用 Pointercrate 恶魔榜的判定准则，也就是说，一条记录必须先能在 Pointercrate 上被接受，才可能被这份榜单接受。在此基础上，LRR 榜单还有额外要求：

低刷新率的定义：显示器运行游戏帧率在 75fps 或以下，包括移动端。即使你用的是 144Hz 或 240Hz 显示器，只要实际以 75fps 或更低运行，也算符合条件。

帧率证明：录像中必须有清晰可见的帧率计数器。如果使用 MegaHack v6 或更高版本，必须使用 MegaHack 自带的帧率计数器。

点击/触屏记录：一般来说，没有点击或触屏显示的记录不会被接受，即使有原始素材作为佐证。安卓移动端玩家同样不豁免这些规则；iOS 玩家有单独的特殊规则，需要到 Pointercrate 页面查看。

原始素材：必须提供原始录像，没有例外，移动端记录也不例外——除非记录中带有触屏显示。

禁止重复提交：不要提交同一条记录的多个版本。

因 MegaHack 更新而收紧的规则：帧率计数器为必需项，移动端记录除外（但需要轨迹显示）；以下 MegaHack 功能被禁用且无例外——TPS Bypass、Stable Pulse、Trail Bug Fix。

Everyplay 的特殊处理：使用 Everyplay 的 iOS 记录，需要退出录制并重新进入 Geometry Dash 来退出关卡，具体示例在 Discord 服务器中。

适合谁看

如果你是用 60Hz、75Hz 或移动端玩 Geometry Dash、想找一份符合自己硬件条件的恶魔关卡参考，这份榜单就是为你准备的。如果你用的是高刷新率设备，榜单中的 61Hz+ 关卡板块可能更贴近你的情况。提交记录前，建议先对照 Pointercrate 规则和上面的 LRR 额外要求逐条检查，尤其是帧率计数器和原始素材这两项。

想系统学习外汇交易，最有效的路径不是一上来就找"必胜策略"，而是按顺序打好三层基础：先看懂市场在交易什么，再学会读价格图表，最后用模拟账户把下单、止损、仓位管理变成肌肉记忆。整个过程大致可以分为四个阶段，每个阶段都有明确的"通关标准"。下面这份路线图适合完全零基础、希望自学外汇交易的读者。

第一阶段：建立市场基础认知

这一阶段的目标是听懂行话，知道自己在交易什么。不需要急着看盘，先把概念弄清楚。

必须掌握的核心概念

• 货币对：外汇永远成对交易，比如 EUR/USD。买入欧元的同时就是在卖出美元，前者是基础货币，后者是报价货币。
• 点与点差：点是价格变动的最小常规单位，多数货币对的一个点是小数点后第四位。点差是买入价与卖出价之间的差额，也是你每次开仓的隐性成本。
• 杠杆与保证金：杠杆放大了你的购买力，同时也放大了亏损。保证金是你开仓时需要冻结的那部分资金。新手常见的错误是把高杠杆当成高收益工具，而不是风险工具。
• 交易时段：悉尼、东京、伦敦、纽约四个主要时段轮流开盘，伦敦与纽约重叠的时段通常流动性最高、点差相对更低。
• 订单类型：市价单、限价单、止损单、止盈单，至少要能说清每种订单在什么场景下使用。

通关标准

能用自己的话解释"为什么做多 EUR/USD 等于看涨欧元、看跌美元"，并能算出一笔交易的点差成本。

第二阶段：学会读图表

概念清楚后，进入看图阶段。图表是外汇交易者唯一的工作界面。

学习顺序建议

1. 先看K线：理解一根K线的开盘、收盘、最高、最低四个价格，以及实体与影线代表的多空力量。
2. 再认趋势与结构：学会识别上升趋势、下降趋势和横盘，标出明显的高点与低点。
3. 然后接触支撑阻力：找出价格反复停留的区域，这是最基础也最实用的分析工具。
4. 最后再学指标：移动平均线、相对强弱指标等可以作为辅助，但不要一开始就堆满屏幕。指标是价格的衍生品，先看懂价格本身更重要。

通关标准

随便打开一个货币对的日线图，能说出当前大致处于什么趋势、最近的关键支撑和阻力在哪里。

第三阶段：模拟交易与风险管理

这是把知识变成习惯的阶段，也是新手最容易跳过、却最不该跳过的一步。

模拟账户练什么

模拟账户的价值不在于"赚钱"，而在于无风险地熟悉流程。重点练习：

• 完整走一遍下单流程：选方向、设止损、设止盈、确认手数。
• 记录每一笔交易的理由，而不是只看盈亏结果。
• 固定一种策略反复练，比如只在趋势明确时进场，观察几十笔后的表现。

风险管理的入门规则

• 单笔风险控制在账户的1%–2%：这是被广泛引用的经验值，具体比例需结合自身承受能力调整。
• 每笔交易必设止损：止损不是可选项，而是入场计划的一部分。
• 控制总仓位：同时持有的多笔交易如果方向高度相关，实际风险会叠加。
• 先算风险再算收益：先确定止损位置和可承受亏损，再倒推手数。

交易心理的入门要点

• 亏损是交易成本的一部分，不是失败。
• 不要因为连续几笔亏损就临时加大仓位想"扳回来"。
• 制定规则后，用规则约束临场冲动，而不是靠感觉。

通关标准

能在模拟账户中连续执行同一套规则至少一个月，且每笔交易都有止损和记录。

第四阶段：判断自己是否准备好

在进入真实交易前，可以用下面这份自查清单逐项确认：

如果多数项目还打不上勾，说明还需要在模拟阶段多停留一段时间。真实交易的门槛不是资金，而是纪律。

常见误区提醒

• 追求"圣杯策略"：不存在永远有效的单一策略，稳定来自规则加执行。
• 忽视点差与隔夜成本：频繁短线交易时，这些成本会明显侵蚀收益。
• 用生活必需资金交易：这会直接破坏你的心态和判断。
• 只学技术分析，不学资金管理：决定长期结果的往往不是入场点，而是仓位与止损。

小结

外汇学习的正确顺序是：概念 → 图表 → 模拟 → 真实。每个阶段都有可检验的通关标准，不必急于跳到下一步。把基础打牢、把风险管理变成习惯，比找到某个"神奇指标"重要得多。当你能够稳定执行一套规则、并坦然接受单笔亏损时，才算真正具备了进入真实交易的入门条件。

Judobase（judobase.ijf.org）是国际柔道联合会（IJF）的官方在线数据库，用于查询每场 IJF 赛事的比赛结果、对阵信息、运动员资料和比赛视频。它适合想追踪某位柔道运动员、某个国家代表队或某一场具体比赛结果的柔道爱好者。只要目标赛事属于 IJF 体系并有记录，就可以通过赛事、日期或运动员姓名定位到结果页，再从结果页进入对应场次的视频。

进入 Judobase 并选择查询入口

打开 judobase.ijf.org 后，平台围绕三类核心对象组织内容：赛事（competition）、运动员（judoka）和国家（country）。根据你要查的内容选择入口：

• 已知具体赛事，想查整届比赛结果：从赛事入口进入，按赛事名称或日期找到目标比赛。
• 已知运动员，想查其历次成绩：从运动员入口进入，查看该运动员参加过的所有赛事记录。
• 已知国家，想查该国选手表现：从国家入口进入，按国家汇总查看。

IJF 对 Judobase 的定位是“关注每一场比赛、每一位柔道运动员和每一个国家”，结果、比赛视频和关键信息都集中在同一平台内。

按赛事、日期或运动员定位目标比赛

进入对应入口后，按以下顺序缩小范围：

1. 确定赛事。IJF 赛事按时间排列，先找到目标届次（例如某年的世锦赛、大满贯或大奖赛）。
2. 确定比赛日。同一赛事不同比赛日对应不同级别的赛程，选对日期才能看到正确的对阵表。
3. 确定级别与轮次。柔道按体重级别分组，同一级别内再按轮次（预赛、半决赛、决赛、复活赛等）排列。
4. 定位到具体场次。找到目标运动员或目标对阵后，进入该场次的结果页。

如果只记得运动员姓名，直接用运动员入口更高效：运动员页面会列出其参加过的赛事和对应成绩，再逐层点回具体场次。

读懂结果页的关键字段

结果页的核心信息可以按下面几类理解：

读结果时把“得分 + 罚分 + 轮次”三者结合，才能准确判断一场比赛为什么是这个结果，以及它对整届赛事名次的意义。

从结果页跳转到比赛视频

Judobase 把结果和视频放在同一平台内，因此查到目标场次后，通常可以从该场次的结果页进入对应的比赛视频。操作逻辑是：

1. 先在结果页确认这是你要找的那一场（核对双方姓名、级别、轮次）。
2. 在该场次条目下寻找视频入口。
3. 打开视频，与结果页的得分和判罚对照观看。

如果同一运动员有多场比赛，注意区分不同轮次的视频，避免把预赛和决赛混淆。

按运动员或国家追踪历次成绩

• 追踪运动员：进入运动员页面后，可以看到其参加过的赛事列表和对应成绩，适合观察一名选手的长期表现和不同赛事中的名次变化。
• 追踪国家：进入国家入口后，可以按国家查看其选手在 IJF 赛事中的结果，适合了解某个国家在特定级别或特定赛事中的整体表现。

这两种方式都建立在同一套结果数据上，区别只是聚合维度不同。

结果缺失或视频无法播放时的排查

• 确认赛事是否属于 IJF 体系。Judobase 收录的是 IJF 相关赛事，非 IJF 赛事可能没有记录。
• 确认比赛日与级别是否正确。选错日期或级别会看到空白或不相关的对阵。
• 确认轮次。某些场次可能只记录结果而无视频，尤其是较早或较低关注度的轮次。
• 视频无法播放时，先确认该场次是否确实提供视频入口；若入口存在但无法播放，可尝试更换浏览器或网络环境后重试。

常见问题

Judobase 能查到所有柔道比赛吗？ 它面向 IJF 体系赛事，覆盖 IJF 比赛的结果、视频和关键信息，非 IJF 赛事不一定收录。

查不到某位运动员怎么办？ 先确认姓名拼写，再尝试用国家入口反查该国选手名单，确认其是否参加过 IJF 赛事。

结果页和视频对不上怎么办？ 以结果页的双方姓名、级别和轮次为准重新核对，确认打开的是同一场次。

代数是用字母和符号表示数及其运算关系，并研究这些符号表达式、方程与结构的数学分支。它适合任何已经掌握基本算术、想进一步理解“未知数怎么求”“公式为什么成立”“矩阵和向量从哪来”的学习者。入门路径通常是：先熟练运算律与符号规则，再学一元一次方程和因式分解，然后进入函数、方程组，最后根据方向走向线性代数或抽象代数。

从算术到代数：关键转变在哪里

算术处理的是具体数字的计算，比如 3+5=8。代数把数字换成字母，比如 x+5=8，于是问题从“算出结果”变成“找出让等式成立的数”。

这个转变带来几个核心对象：

• 变量：可以取不同值的符号，如 x、y、t。
• 常量：固定不变的数，如 3、π。
• 表达式：由变量、常量和运算组成的式子，如 2x+3。
• 方程：声明两个表达式相等的式子，如 2x+3=7。
• 等式变形：在两边同时做相同运算，保持等式成立，从而解出未知数。

理解“等式两边同时加减乘除同一个非零数，等式仍成立”，是解方程的全部基础。移项本质上是两边同时加或减同一个量，不是把项“搬过去变号”这种口诀。

主要分支概览

代数不是一个单一科目，而是一组层层递进的分支。下表按学习顺序和抽象程度排列。

初等代数关心“怎么解出这个 x”；线性代数关心“一组线性关系整体有什么性质”；抽象代数关心“一类运算结构共同满足什么规律”。三者不是互相替代，而是抽象层次不断上升。

中学与大学阶段的衔接与差异

中学代数以计算和求解为主：化简表达式、解方程和不等式、画函数图像、处理数列。目标是得到具体答案。

大学代数转向结构和证明：线性代数要求理解向量空间的定义、证明线性无关、判断矩阵是否可对角化；抽象代数要求证明一个集合在给定运算下构成群。答案不再是数字，而是“成立/不成立”以及推理过程。

衔接的关键在于：中学的运算熟练度是大学抽象定义的基础，但仅靠刷题不够。进入线性代数前，最好已经能自如处理多项式运算、函数概念和简单的逻辑推理。

入门学习路径

按以下顺序推进，每一步都以前一步为条件：

1. 运算律与符号规则：交换律、结合律、分配律，正负号运算，分数与指数法则。这是所有变形的前提。
2. 一元一次方程与不等式：练习两边同时运算，理解解集概念。
3. 多项式与因式分解：提公因式、公式法、十字相乘。因式分解是解二次方程和化简分式的基础。
4. 二次方程与函数：求根公式、判别式、抛物线图像，理解方程的解与函数零点的关系。
5. 方程组与不等式组：代入法、消元法，理解多个条件同时成立。
6. 指数、对数与数列：为后续函数和微积分做准备。
7. 线性代数入门：向量、矩阵、线性方程组的高斯消元。此时再回头看“解方程组”，会发现它只是线性代数的一个应用。

常见难点与排查思路

• 移项符号出错：回到“两边同时加减”的定义，不要依赖口诀。检查时把解代回原方程验证。
• 因式分解卡住：先提公因式，再看是否能用平方差、完全平方公式，最后试十字相乘。顺序反了会做很多无用功。
• 符号混淆：负号既表示相反数，也表示减法。写每一步时明确当前符号的作用对象。
• 把表达式当成方程：表达式不能“解”，只能化简或求值；方程才有解。看到等号先判断是不是方程。
• 抽象定义读不懂：线性代数和抽象代数的定义通常由“集合+运算+满足的条件”构成。逐条对照例子验证，比如用二维向量验证向量空间公理。

代数学习的核心不是记住更多公式，而是理解“符号可以代表数，运算规则保持等式成立”这一机制，并在此基础上逐层抽象。